שאלה בסטטיסטיקה

[CodeGuru]

בכיתה אחת יש עשרה בנים ועשרים בנות.
כל יום שוכחים בן אחד ושתי בנות להביא את ספר הלימוד בחשבון.
המורה לחשבון בוחר כל שבוע מגדר (בנים או בנות) שהוא סולח לו,
ואז כל בוקר בוחר תלמיד מקרי (בהתפלגות אחידה על פני 30 תלמידי הכיתה) ובודק האם הוא הביא ספר חשבון.
מה הסיכוי שהמורה יתפוס תלמיד ללא ספר חשבון ולא יסלח לו:
א. ביום אחד
ב. במהלך כל ששת ימי השבוע כולו?

[Yby]

ברור שאם ההתפלגות אחידה יש סיכוי של 1/30 לבחירת בן פושטק וסיכוי של 2/30 לבחירת בת סוררת, בלי שום קשר למגדר הנבחר.

מה שאומר שאם המגדר הנבחר הוא בנים (כלומר בנות נתפסות), התשובה ל-א' היא 2/30, ואם המגדר הנבחר הוא בנות (כלומר בנים נתפסים) התשובה ל-א' היא 1/30.

אם היה נתון שההתפלגות של בחירת המגדר היא שווה בין בנים לבנות אז בבחירת יום אקראי, התשובה הייתה הממוצע של שני אלה כלומר 1/20 (שזה גם קל לראות אחרת: בהתפלגות 1/10 הוא נופל על תלמיד לא ממושמע, ובהתפלגות 1/2 הוא לא סולח לו). אבל מכיוון שלא נתונה התפלגות שם, אני לא רואה שום דרך לענות על השאלה. היא תהיה בסופו של דבר איזשהו ממוצע משוקלל בין 1/30 לבין 2/30. או פשוט להתייחס לזה כאל 1/30 או 2/30, כתלות בשבוע.

 

לגבי סעיף ב', הניסויים בלתי תלויים. לכן התשובה ל-ב' תהיה 1 פחות (1 פחות (התשובה ל-א')) בחזקת 6. כאשר (התשובה ל-א') היא 2/30 במקרה שהמגדר הנבחר הוא בנים (כלומר בנות נתפסות) ו1/30 במקרה ההפוך.

נראה לי הגיוני שפספסתי משהו. בכל זאת זה פורום חידות ולא פורום שאלות בסיסיות בהסתברות… אבל אני לא מצליח לחשוב מה אז ספרו לי בבקשה

[CodeGuru]

ראשית, אכן שכחנו לציין, בחירת המגדר היא אחידה (חצי בנים, חצי בנות).

((להגנתנו נטען כמו המורה לנהיגה שאומר שאם הוא לא נותן הנחיות אחרות, להמשיך לנסוע ישר, כך גם אם לא כתוב אחרת אז הבחירה היא מקרית)).

שנית, התשובה לחלק הראשון נכונה. התשובה לחלק השני היא הטעות השכיחה – זה מאוד מבלבל.

בהצלחה!

[Yby]

אם בחירת המגדר היא מקרית, באמת הכל הופך להיות יותר סימפטי לניסוח..

אני תוהה אם כשאתה אומר שהתשובה היא הטעות הנפוצה, אתה מתייחס לחישוב או להנחה שהניסויים הם בלתי תלויים..

אם אנחנו באמת נוסעים ישר כל הזמן אז גם ההתפלגות של הבן שלא מביא את הספר היא אחידה, גם ההתפלגות של 2 הבנות שלא מביאות אתה ספר היא אחידה, גם ההתפלגות של בחירת המגדר של השבוע היא אחידה, וגם ההתפלגות של בחירת התלמיד הנבדק היא אחידה…

אם כן, כעת אנחנו בוחרים שבוע (גם כן בהתפלגות אחידה), ושואלים מה ההסתברות שייתפס תלמיד כלשהו, לפחות אחד, במהלך השבוע הזה…

אני עדיין לא רואה מה הטעות בחישוב שעשיתי שאומר שבשבוע בנים התשובה תהיה 1 פחות (1 פחות 1/30) בחזקת 6) שזה בערך 0.1841, ובשבוע בנות התשובה תהיה 1 פחות (1 פחות 2/30 בחזקת 6) שזה בערך 0.339, ובבחירת שבוע אקראי התשובה תהיה הממוצע ביניהם שזה בערך 0.26155. אבל אני אנסה לתקוף את הבעיה בשיטה הרבה יותר רובוסטית, עכשיו כשכל ההתפלגויות הם אחידות. אני מזהיר מראש, זה ארוך, זה מכוער, אבל כשאומרים לי שאני טועה זה מה שאני עושה

בואו נדבר על מרחב מדגם ענקי של כל השבועות האפשריים.  מספר האפשרויות לשבוע הוא 2 * ((30 * 10 * (20 מעל 2)) בחזקת 6). לשם הבהרה, 2 זה בחירת המגדר השבועית, 30 זו בחירת התלמיד הנבדק היומית, 10 זו בחירת הבן הסורר, 20 מעל 2 (390) זו בחירת הבנות הסוררות. סה"כ זה יוצא 5130328403538000000000000000000 שבועות אפשריים, אבל מי סופר. מכיוון שכל ההתפלגויות אחידות ובלתי תלויות (אני חייב להישאר עם ההנחה שלי, כי לא ניתנה לי שום סיבה להאמין שהיא לא נכונה, עדיין) נותר לנו רק לבדוק *בכמה* מהשבועות האלה נתפס תלמיד ובכמה לא.

נתחיל בשבועות הבנים-נתפסים. לכל בחירה של בן סורר, יש לנו בדיוק בחירה אחת של המורה שמתיישבת איתה כדי שבן ייתפס, ולא משנה מה הבנות עושות. כלומר יש לנו בדיוק 10*390 * (30*10*(20 מעל 2)) בחזקת 5 שבועות שבהן נתפס בן ביום הראשון.מטעמי סימטריה זה נכון גם לגבי שאר הימים .וכמה שבועות יש שבהן נתפס בן ביום הראשון וגם ביום השני? 10*390*10*390 * (30*10*(20 מעל 2)) בחזקת 4. ומטעמי סימטריה זה נכון לכל בחירה של 2 ימים. נמשיך כך ונקבל שאפשר להשתמש בכלל ההכלה וההדחה (עוצמה של איחוד של N קבוצות שווה לסכום העוצמות של הקבוצות פחות סכום העוצמות של חיתוכים של 2 קבוצות מתוכן ועוד סכום העוצמות של חיתוכים של 3 קבוצות מתוכן וכן הלאה) ולקבל שמס' השבועות שבהן נתפס בן הוא בדיוק:

6 * 3900 * 117000^5 (=513032840353800000000000000000)
–
15 * 3900^2 * 117000^4 (=42752736696150000000000000000)
+
20 * 3900^3 * 117000^3 (=1900121630940000000000000000)
–
15 * 3900^4 * 117000^2 (=47503040773500000000000000)
+
6 * 3900^5 * 117000 (=633373876980000000000000)
–
1 * 3900^6 (=3518743761000000000000)

=

472133352102949719000000000000

כעת נעבור לבנות, כלומר אנחנו נחשב את מספר השבועות שבהן נתפסת בת אחת בדיוק:

לכל בחירה של שתי בנות (390 אפשרויות), יש שתי בחירות של המורה שיתנו לנו תפיסה, ושוב לא משנה מה הבנים עושים, כך שמס' השבועות שבהן בת נתפסת ביום הראשון הוא 390*2*10 * 117000^5. באופן דומה, מס' השבועות שבהן בת נתפסת ביום הראשון וביום השני הוא 7800^2 * 117000^4 וכן הלאה. נעשה שוב את החישוב לפי כלל ההכלה וההדחה:

6 * 7800* 117000^5 (=1026065680707600000000000000000)
–
15 * 7800^2 * 117000^4 (=171010946784600000000000000000)
+
20 * 7800^3 * 117000^3 (=15200973047520000000000000000)
–
15 * 7800^4 * 117000^2 (=760048652376000000000000000)
+
6 * 7800^5 * 117000 (=20267964063360000000000000)
–
1 * 7800^6 (=225199600704000000000000)

=

869515701082606656000000000000

צריך להתייחס לסוגיה של האם לחבר את שני אלה ולחלק במספר השבועות זה מספיק? המספר הראשון (472133352102949719000000000000) הוא מספר השבועות שבהם נתפס בן, והמספר השני (869515701082606656000000000000) הוא מספר השבועות שבהן נתפסה בת. האם יכול להיות לנו שבוע שבו ייתפס גם בן וגם בת? מכיוון שההנחה היא שהמגדר נבחר בתחילת השבוע והוא אחיד לאורך כל השבוע, זה לא יכול להיות, ולכן מכיוון שהחיתוך הוא ריק, עוצמת האיחוד שווה לסכום העוצמות ולכן מספר השבועות שבהם נתפס תלמיד כלשהו הוא הסכום: 1341649053185556375000000000000.

ההסתברות מתקבלת על-ידי חילוק מספר השבועות שבהם נתפס תלמיד במספר השבועות הכולל, שהוא, כזכור, 5130328403538000000000000000000 . תוצאת החילוק נותנת לנו 0.2615 וזה בדיוק מה שיצא לי בחישוב המקורי, הפשוט, והקצר.

דרעק, ממש קיוויתי שיצא משהו אחר, ואז נוכל לנתח את זה ולהיכנס להסברים של מה היה מבלבל קודם… אבל לצערי, זה המצב. ובכן, אתה טוען שטעיתי, אז אנא ממך, פרט איפה. מי שנותן חידה, ומשיב לכל פתרון מוצע "לא, זה לא זה" בלי הסברים נוספים של מדוע זה לא זה, הוא לא חידונאי טוב

שלך, עם calc דואב,

  יונתן.

[CodeGuru]

הטעות אליה התכוונו הטענה ש

"התשובה ל-ב' תהיה 1 פחות (1 פחות (התשובה ל-א')) בחזקת 6"

זה נכון אם מפרידים לבנים ולבנות אבל לא נכון אם ממצעים.

ההבדל, אגב, קטן למדי מה שמקשה על מציאת הטעות מתוך מדגם.

 

בקריאה חוזרת נראה שחמקת מהפח (המשך הטענה שלך מפריד בין המקרים),

דווקא משום ששכחנו לציין את התפלגות בחירת המגדר הנסלח.

[מאת]

תגובות