חידה

[maxim k]

יואב, חידה בסגנון שאני אוהב –

נתונות שתי תיבות

הוכח שאם תיבה אחת נמצאת בשנייה,  אז סכום מימדי התיבה הפנימית קטן

מסכום מימדי התיבה החיצונית.

 

(סכום מימדי התיבה= גובה התיבה+אורך התיבה+עומק התיבה)

[yoav zilberman]

אבל זה נתון: אם תיבה אחת מכילה תיבה שנייה אז בהכרח הגובה שלה גדול מהתיבה שאותה היא מכילה (בהנחה שגם התיבה עשויה מחומר שיש לו מימדים שונים מאפס), כמו כן אורכה של התיבה המכילה חייב להיות גדול מאורכה של התיבה המוכלת , וגם עומקה של התיבה המכילה חייבת להיות גדולה מעומקה של התיבה המוכלת (מעצם הגדרת המילה מוכל).

אז בוודאי שסכום כל המימדים של התיבה המוכלת יהיה קטן מסכום כל המימדים של התיבה המכילה.

האם הבנתי את "החידה" או שהתכוונת למשהוא אחר?

 

[maxim k]

אתה משום מה מניח שהתיבה הפנימית בעלת מקצועות המקבילים למקצועות המתאימים להם בתיבה החיצונית, כאשר ייתכן שאין אפילו מקצוע אחד שמקביל לאחר (בין התיבה הפנימית לחיצונית)

[yoav zilberman]

הבנתי אותך, אתה צודק-הנחת יסוד מוטעית שלי.

לתיבה יכולים להיות שני מצבים כלליים:

1. כל קודקודי התיבה המוכלת נוגעים בדפנות התיבה המכילה

2. לא כול הנ"ל נוגעים

אם נוכיח כי 1 נכון בהכרח אז גם 2 נכון בהכרח משום שעבור כל מצב 2 ניתן למצוא תיבה פנימית וכך הלאה עד שיתקיים 1 או לחליפין נקבל תיבה פנימית מוכלת מקבילה למכילה שבהכרח תקיים את התנאי.

נוכיח את 1:

אם החסום תיבה בתוך תיבה נסמן זווית בין אחד הקודקודים של התיבה המוכלת לדופן של התיבה המכילה. אם נמשיך עם סימון הזווית ונסמן  אורך ורוחב של תיבה מוכלת בנעלמים, בעזרת טריגו נבטא גם אורך ורוחב של תיבה מכילה, מתקבל כי סכום של סינוס זווית וקוסינוס זווית הכופל את סכום מימדי האורך והעומק של תיבה מוכלת הוא סכום מימדי האורך והעומק של תיבה מכילה. סכום של סינוס וקוסינוס ניתן לבטא כשורש של ריבוע של השניים. אם נפתח סוגריים נקבל כי הביטוי הוא סינוס בריבוע ועוד קוסינוס בריבוע ועוד 2 סינוס קוסינוס השניים הראשונים- סכום אחד לפי זהות טריגונומטרית לכן כל הביטוי גדול מ-1 ולכן השורש שלו גדול מ-1 ולפיכך סכום מימדי האורך והעומק גדולים מ-1, הגובה של תיבה מוכלת בהכרח קטן מתיבה מכילה בשל הגדרת החסימה ולפיכך הוכחנו את הדרוש שכן סכום המימדים של התיבה המכילה בהכרח גדול משל התיבה המוכלת.

האם הפתרון לשביעות רצונך? 

[maxim k]

הפיתרון לא לשביעות רצוני

ראשית, אתה מניח שכל תיבה  חיצונית ניתן להקטין כך של קודקודי התיבה הפנימית יגעו בתיבה החיצונית – זה לא תמיד נכון

דבר שני, הפיתרון שכתבת ממש לא מובן…פיתרון מסודר בבקשה

דבר שלישי – היופי של החידה הוא בכך שקיים פיתרון בסיסי שלא מצריך טריגונומטריה.

[yoav zilberman]

לא אמרתי להקטין מימדי תיבה , אלא אמרתי לבנות תיבה שתחסום את התיבה המוכלת וגם פאותיה יקבילו לתיבה המכילה.

הרעיון שלי הוא פשוט:

1. סמן זווית בין קודקוד של תיבה מוכלת לבין פאה של תיבה מכילה

2. המשך בסימון הזוויות כך שכל הזוויות שבין הקודקודים והפאות יקבלו סימון

3.סמן אורך ועומק של תיבה מוכלת בנעלמים

4. בטא אורך ועומק של תיבה מכילה באמצעות טריגו

5. מתקבל כי אורך ועומק של תיבה מכילה שווה למכפלת אורך ועומק של תיבה מוכלת בסכום סינוז וקוסינוס של זווית שסומנה

6. קל להראות שסכום סינוס וקוסינוס גדול מ-1

7. ריבוע הסכום שצויין בסעיף למעלה גדולה מ-1 משום שהוא מורכב מסינוס בריבוע ועוד קוסינוס בריבוע ועוד משהוא ואם ריבוע גדול מ-1 גם שורש גדול מ-1.

8. גובה של תיבה מוכלת בהכרח קטן משל תיבה מכילה מעצם הגדרת ההכלה.

9. מש"ל

האם עכשיו זה ברור יותר?

[maxim k]

<<לא אמרתי להקטין מימדי תיבה , אלא אמרתי לבנות תיבה שתחסום את התיבה המוכלת וגם פאותיה יקבילו לתיבה המכילה.<<

לזה התכוונתי – המשמעות האינטואיטיבית של הבנייה הזאת היא הקטנה מימדי התיבה המקוריים עד שהתיבה הפנימית חסומה בה.

ועל כך אמרתי  – לא תמיד תוכל להגיע למצב בו כל קודקודי התיבה הפנימית ייגעו בקודקודי התיבה החיצונית

דבר שני – אני לא מכיר הגדרה לזווית בין קודקוד (נקודה) לבין פאה

ובבקשה – פיתרון מסודר. בסעיף 2 אתה אומר שאתה מסמן את כל הזוויות. על איזו זווית אתה מדבר בסעיף 5?

סעיף 8 לא נכון

בבקשה, חסוך תגובה נוספת עם אותה בקשה – פיתרון מסודר (ונכון)

נתונה תיבה ABCDEFGH

נתונה תיבה IJKLMNOP

שמוכלת בה.

בבקשה, אם אתה כבר פותר טריגונומטרית (שזה כאמור לא הפיתרון היפה), אז במסודר בבקשה:

איזה קודקוד נמצא איפה, איזה זווית אתה מסמן במה…

 

[maxim k]

כמובן בשורה השלישית הכוונה ל "ועל כך אמרתי  – לא תמיד תוכל להגיע למצב בו כל קודקודי התיבה הפנימית ייגעו בפאות התיבה החיצונית"

ושוב, תנסה לחשוב על פיתרון לא טריגונומטרי

 

[CodeGuru]

כדי להסביר למה צריך להוכיח משהו שאינטואיטיבית הוא נכון, ראו את בעיית הקוביה של הנסיך רופרט – איך אפשר להעביר קוביה גדולה דרך קוביה קטנה ממנה.

קישור שמכיל את הפתרון:  http://mathworld.wolfram.com/PrinceRupertsCube.html

ומי שיש לו שליטה עצמית מעולה ורוצה להכיר את השאלה בלי לראות את הפתרון, ראו את

http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Challenges/May2007.html

[מאת]

תגובות