היקף אליפסה!

[משתמש לא ידוע]

אני יודע שזה לא כל כך קשור לפורום הזה, ניסיתי לחפש בפורומים אחרים, אבל אף אחד לא יכל לעזור…

משהו יודע איך אפשר לחשב היקף אליפסה?

[Yoni]

כותרת: היקף אליפסה
נתונה אליפסה שרירותית. אבנה מערכת צירים יחסית כך ששני מוקדי האליפסה יהיו על ציר ה-x (וראשית הצירים היא נקודת האמצע של הקטע המחבר ביניהם), ואז משוואת האליפסה תהיה:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
כאשר x=a,-a נקודות החיתוך עם ציר ה-x ו-y=b,-b נקודות חיתוך עם ציר ה-y, ומתקיים a>b>0.

כדי לחשב את היקף האליפסה אחשב את אורך הקטע של האליפסה המצוי ברביע הראשון, ואז אכפיל את התוצאה פי 4 (מטעמי סימטריה).

הקטע של האליפסה ברביע הראשון מתאים לפונקציה הבאה:
y = sqrt(1 – (x/a)^2) * b

נגזרת הפונקציה:
y´ = -bx / sqrt(a^2 – x^2)a

אגדיר: sqrt(1+y´^2) = L. כלומר, L היא פונקצית השורש נגזרת האליפסה בריבוע פלוס 1.
ע"י חישוב נקבל:
sqrt(((b^2-a^2)x^2 + a^4) / (-a^2 x^2 + a^4)) = L

אורך הקטע שווה לאינטגרל של L לפי x מ-0 עד a. (הדבר מוכח בספר "חשבון אינפיניטסימלי 1" בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה, בנספח ליחידות 9-10, עמ´ 137-138.)

חישוב האינטגרל הנ"ל דורש ידע שאין לי כעת. חישבתי אותו באמצעות Mathematica 5.0 וקיבלתי את התוצאה הבאה:

EllipticE(1 – b^2/a^2) * a

כאשר EllipticE היא פונקציה בשם "האינטגרל האליפטי" שאותה איני מכיר.

דוגמה: כאשר a=1, b=sqrt(2)/2, נקבל EllipticE(1/2)*1 שזה לפי Mathematica בערך 1.35064 (עבור רבע היקף האליפסה).

במקרה הפרטי a=b מתקבל מעגל, ולפי הנוסחה לעיל מתקבל ההיקף EllipticE(0)*a. לפי Mathematica הערך הוא EllipticE(0) = pi/2, ונקבל a*pi/2 עבור היקף רבע מעגל, או 2pi*a עבור היקף המעגל כולו, וזו הנוסחה המוכרת להיקף מעגל מכיוון ש-a הוא רדיוס המעגל.

[מאת]

תגובות