תשע (!) חידות לגאוני הפורום

[צבי]

1. אני מטיל קוביה שוב ושוב עד שהסכום המצטבר של המספרים שהתקבלו גדול מ – 12. נסמן את הסכום המצטבר x. מהו הערך השכיח ביותר של x?

2. במשחק שחמט הגיעו לעמדה הבאה:

לבן: מלך על א1, רץ על ו1, רגלים על א4, א7, ב2, ג3, ד3, ה2, ז2, ח3;

שחור: מלך על ב3, פרש על ה6, רגלים על א6, ב7, ג2, ג6, ד5, ה7, ו6, ו7.

כל מהלכי המשחק היו חוקיים (אבל לא בהכרח הגיוניים). המסע האחרון היה של השחור. מה היה המסע האחרון? (איזה כלי זז והיכן היה לפני המסע האחרון)

יש רק פתרון אחד! ניתן, כמובן, לפתור את הבעיה על ידי בניית משחק חוקי המסתיים בעמדה הנ"ל כך שהמסע האחרון הוא של השחור. האם תוכל/י למצוא את המסע האחרון ללא זה, אלא על ידי ניתוח עמדת הכלים בלבד?

ההשקעה בפתרון החידה כדאית!

כשהצגתי בעבר את הבעיה, מישהו ניסה לפתור את הבעיה, אבל בפתרונו הוא הניח שמסעי המשחק היו הגיוניים. לכן אני מדגיש שוב: אין להניח שהשחקנים שיחקו בצורה הגיונית. ההנחה היחידה המותרת היא שכל המסעים היו לפי חוקי משחק השחמט, אבל ייתכן שמהלך המשחק היה מוזר מאוד ולא הגיוני. כמו כן יש לזכור שהמסע האחרון היה של השחור.

לא מאמינים שיש רק אפשרות אחת? בנו משחק חוקי המסתיים בעמדה הנתונה כך שהשחור משחק אחרון, ותראו…

תזכורת – צריך למצוא לא רק איזה כלי זז אחרון אלא גם על איזו משבצת עמד קודם.

3. חידה קלה: נתון מערך של מספרים טבעיים. כל אחד מהמספרים המופיעים במערך מופיע בו פעמיים, פרט למספר אחד המופיע שלש פעמים. למשל:

4,6,1,6,1,77,1,4,77

כאן כל מספר מופיע פעמיים, ורק המספר 1 מופיע שלש פעמים.

איך ניתן למצוא בצורה היעילה ביותר מיהו המספר המופיע שלש פעמים?

4. מהי המכפלה המקסימלית של מספרים טבעיים שסכומם 100?

5. למצוא שלושה מספרים שלמים, p, q ו – r, גדולים מ – 1, המקיימים:
p^p * q^q = r^r

6. מישהו מראה לי שתי מעטפות סגורות. הוא אומר לי שבכל מעטפה יש סכום כסף מסויים, וכמות הכסף באחת המעטפות כפולה מהכמות שבמעטפה האחרת. אני צריך לבחור את אחת המעטפות, לפתוח אותה, לראות את סכום הכסף שבתוכה, ואז להחליט אם להשאיר אותה אצלי או להחזיר אותה ולקחת במקומה את המעטפה האחרת (אם אחליט להחליף מעטפות לא אוכל להתחרט ולהחליף שוב). בחרתי את אחת המעטפות, פתחתי אותה וראיתי בתוכה 100 שקל. אני חושב כך: במעטפה האחרת יש 50 שקל או 200 שקל, בהסתברות 0.5 לכל אפשרות. לכן תוחלת סכום הכסף במעטפה האחרת היא חצי של 50 ועוד חצי של 200, כלומר 125 שקל, שזה יותר מ-100 השקלים שבידי. לכן אני מחליט שכדאי להחליף מעטפות, אבל רגע לפני שאני מחליף עולה בדעתי המחשבה הבאה: הרי לכל סכום כסף שהייתי רואה במעטפה הייתי מחליט על ידי שיקול דומה שכדאי לי להחליף, וגם אם מלכתחילה הייתי בוחר במעטפה השניה – הייתי מחליט להחליף אותה בזו שבידי כעת… אז למה לי להחליף?

אז מה לעשות – להחליף או לא? לא מספיק שתוכיחו שאין טעם להחליף, כי מה נעשה עם הטיעון הנ"ל שמוכיח שכדאי להחליף?

7. בידי חפיסה של 20 קלפים הממוספרים 1 עד 20 בסדר כלשהו.

אני מבצע את הפעולה הבאה: מתבונן במספר הכתוב על הקלף העליון (נקרא למספר זה n), מחלק מהחפיסה n קלפים ומניח אותם שוב על שאר החפיסה (ייתכן ש"שאר" זה הוא ריק – אם n=20). למעשה, מה שקורה הוא שסדרם של n הקלפים העליונים בחפיסה מתהפך. אחר כך אני מתבונן שוב בערכו של הקלף העליון (ערך זה הוא m), הופך את סדרם של m הקלפים העליונים, מתבונן שוב בערכו של הקלף העליון וכן הלאה.

האם תמיד אגיע למצב בו הקלף העליון הוא זה שעליו המספר 1? (ואז מצב החפיסה לא ישתנה עוד)

8. חפיסת קלפים מכילה, כידוע, 26 קלפים שחורים ו – 26 קלפים אדומים. שמשון ויובב משחקים במשחק הבא: שמשון מערבב את הקלפים בחפיסה ושומר אצלו את החפיסה המעורבבת. אחר כך הוא מניח את הקלפים אחד אחד על השולחן (לפי סדרם בערימה המעורבבת), עם הפסקה של 5 שניות בין קלף לקלף. יובב מתבונן בקלפים ורואה איזה קלף מונח על השולחן. בשלב כלשהו (באחת מ – 52 ההפסקות בין הנחות הקלפים, כולל ה"הפסקה" שלפני הנחת הקלף הראשון) חייב יובב לצעוק "אדום!". יובב זוכה אם הקלף הבא הוא אדום, ומפסיד אם הוא שחור.

באיזו אסטרטגיית משחק צריך יובב לנקוט על מנת להגדיל את סיכויי זכייתו למקסימום האפשרי?

9. להוכיח כי לא ניתן לרצף חדר שמידותיו 2.5 מטר על 2.5 מטר על ידי מרצפות משני סוגים: 20 ס"מ על 20 ס"מ ו – 30 ס"מ על 30 ס"מ (כמובן, ללא שבירת מרצפות או חפיפה בין המרצפות וכדומה)

[אממ אממ אני!]

כותרת: נדמה לי שיש לי תשובה ל-1
הסכום השכיח ביותר צריך להיות 14

עכשיו למה.

נסתקל מה ההסתברות לקבל בהתלה של 2 קוביות את הסכום 6.
האפשרויות הן:
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1

וההסתברות לקבל 7:
6 1
5 2
4 3
3 4
2 5
1 6

ניתן לראות כי ההסתברות הגבוה ביותר היא לקבל סכום 7 בהתלה כפולה.
ולכן 2 התלות כפולות ייצרו את המספר 14 והוא השכיח ביותר.

[אממ אממ אני!]

כותרת: תשובה ל:3
1125899907000000

שזה בערך 2 בחזקת 50

והידוע לכל 2+2+2+2 … 50 פעמים = 100

[פלוני]

כותרת: טעית פעמיים

[גיל]

כותרת: תשובה לחידת השח מט

יש הרבה יותר מאפשרות אחת : הפרש השחור הוא זה שזז אחרון.
הוא היה יכול לפני כן להיות ב : ד8, ו8, ז7, ג7, ז5, ג5, ד4, ו4.

[מאת]

תגובות