היקף אליפסה!

עמוד
מוצגות 2 תגובות – 1 עד 2 (מתוך 2 סה״כ)
  • מאת
    תגובות
  • #77521

    אני יודע שזה לא כל כך קשור לפורום הזה, ניסיתי לחפש בפורומים אחרים, אבל אף אחד לא יכל לעזור…

    משהו יודע איך אפשר לחשב היקף אליפסה?

    #79724
    Yoni
    משתתף

    כותרת: היקף אליפסה
    נתונה אליפסה שרירותית. אבנה מערכת צירים יחסית כך ששני מוקדי האליפסה יהיו על ציר ה-x (וראשית הצירים היא נקודת האמצע של הקטע המחבר ביניהם), ואז משוואת האליפסה תהיה:
    x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
    כאשר x=a,-a נקודות החיתוך עם ציר ה-x ו-y=b,-b נקודות חיתוך עם ציר ה-y, ומתקיים a>b>0.

    כדי לחשב את היקף האליפסה אחשב את אורך הקטע של האליפסה המצוי ברביע הראשון, ואז אכפיל את התוצאה פי 4 (מטעמי סימטריה).

    הקטע של האליפסה ברביע הראשון מתאים לפונקציה הבאה:
    y = sqrt(1 – (x/a)^2) * b

    נגזרת הפונקציה:
    y´ = -bx / sqrt(a^2 – x^2)a

    אגדיר: sqrt(1+y´^2) = L. כלומר, L היא פונקצית השורש נגזרת האליפסה בריבוע פלוס 1.
    ע"י חישוב נקבל:
    sqrt(((b^2-a^2)x^2 + a^4) / (-a^2 x^2 + a^4)) = L

    אורך הקטע שווה לאינטגרל של L לפי x מ-0 עד a. (הדבר מוכח בספר "חשבון אינפיניטסימלי 1" בהוצאת האוניברסיטה הפתוחה, בנספח ליחידות 9-10, עמ´ 137-138.)

    חישוב האינטגרל הנ"ל דורש ידע שאין לי כעת. חישבתי אותו באמצעות Mathematica 5.0 וקיבלתי את התוצאה הבאה:

    EllipticE(1 – b^2/a^2) * a

    כאשר EllipticE היא פונקציה בשם "האינטגרל האליפטי" שאותה איני מכיר.

    דוגמה: כאשר a=1, b=sqrt(2)/2, נקבל EllipticE(1/2)*1 שזה לפי Mathematica בערך 1.35064 (עבור רבע היקף האליפסה).

    במקרה הפרטי a=b מתקבל מעגל, ולפי הנוסחה לעיל מתקבל ההיקף EllipticE(0)*a. לפי Mathematica הערך הוא EllipticE(0) = pi/2, ונקבל a*pi/2 עבור היקף רבע מעגל, או 2pi*a עבור היקף המעגל כולו, וזו הנוסחה המוכרת להיקף מעגל מכיוון ש-a הוא רדיוס המעגל.

מוצגות 2 תגובות – 1 עד 2 (מתוך 2 סה״כ)
  • יש להתחבר למערכת על מנת להגיב.